Наприклад

1) Інтеграл збігається, оскільки а

2) Інтеграл розбігається, оскільки причому як було показано вище, розбігається.

На практиці користуються наслідком з цієї теореми – граничною теоремою порівняння, яка формулюється так.

Нехай і та існує границя . Тоді із збіжності інтегралу при випливає збіжність інтегралу , а із розбіжності при випливає розбіжність інтегралу .

Таким чином, при обидва інтеграли є або збіжними, або розбіжними.

Нехай – знакозмінна функція.

Можна довести, що із збіжності інтегралу випливає збіжність інтегралу (обернене твердження, взагалі кажучи, невірне). Якщо збігається не тільки інтеграл , але і інтеграл , то називають абсолютно збіжним, а функцію – абсолютно інтегрованою.

Наприклад. Інтеграл – абсолютно збіжний інтеграл, оскільки , а – збіжний інтеграл (читачеві рекомендується перевірити це самостійно).

ІІ. Узагальнимо поняття визначеного інтегралу на випадок розривної підінтегральної функції.

Припустимо, що функція визначена і неперервна при , а при ця функція або не визначена, або терпить розрив. У цьому випадку не можна визначити інтеграл як границю інтегральної суми. За означенням, покладають:

(рис.2).

Якщо границя, що стоїть справа, існує, то інтеграл називається невласним збіжним інтегралом другого роду (в противному випадку – розбіжним).



0

Рис. 2. Невласний інтеграл другого роду.

Якщо функція розривна при , то, згідно з означенням, .

У випадку, коли функція розривна всередині відрізка , при , то , якщо обидва інтеграли справа існують.

Наприклад. (інтеграл розбіжний).

У випадку невласного інтегралу другого роду від додатної функції для його збіжності необхідно та достатньо, щоб при всіх виконувалася нерівність: .

Для невласного інтегралу 2-го роду має місце теорема порівняння, аналогічна сформульованій вище для невласних інтегралів 1-го роду, а також твердження про збіжність інтегралу від знакозмінної функції при умові збіжності інтегралу .



Кратні інтеграли. Подвійні і потрійні інтеграли – це узагальнення поняття визначеного інтегралу на інтеграл по плоскій області (частині площини) та на інтеграл по об’ємній замкненій області. Обчислення подвійних інтегралів зводиться до двохкратного інтегрування, а потрійних – до трьохкратного інтегрування. При вивченні теми «Кратні інтеграли» слід звернути особливу увагу на поняття правильної двохвимірної (та правильної трьохвимірної) областей, на порядок розстановки меж інтегрування, на правила заміни змінних при інтегруванні.


7628703188586498.html
7628767240319242.html

7628703188586498.html
7628767240319242.html
    PR.RU™