Відносна гранична похибка складе

,

б) точність окремих вимірів характеризується відносною граничною похибкою

D Lі = Lk – Ln = 120,0192 – 119,9990 = 20,2 мм;

.

Залежно від заданих умов приймають остаточне рішення про якість виконаних вимірів і можливості використання компаратора.

§ 2. Математична обробка ряду нерівноточних вимірів

Приведемо послідовність визначення числових характеристик багатократних повторних нерівноточних вимірів (§ 4, розд.6).Якщо отримано статистичний ряд нерівноточних вимірів

х1, х2, ..., хп; , (7.21)

то обчислюють

1. Ваги вимірів за однією із можливих формул

; ; або , (7.22)

де – емпіричні дисперсії виміряних величин;

Li – довжина лінії ходу, полігона і т.д. ;

Ni – кількість виміряних величин: кутів, перевищень, ліній, штативів і т.д.;

ni – кількість вимірів (прийомів) однієї шуканої величини.

2. Загальне середнє арифметичне

. (7.23)

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до отриманих результатів вимірів х0. Обчислити різниці

eі = хі – х0; .

Тоді . (7.24)

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні вимірюваної величини Х

; , (7.25)

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення

. (7.26)

Контроль [pV] = - b[p],де b – похибка заокруглення загального середнього арифметичного .

4. Систематичну похибку l при відомому істинному значенні Х або істинних похибках D за формулою

, або . (7.27)

5. Величину [pD2] або [pV2] з контролем.

Контроль: . (7.28)

6. Середню квадратичну похибку одиниці ваги за формулою

, (7.29)

або . (7.30)

7. Середню квадратичну похибку загального середнього арифметичного за формулою

. (7.31)

Виконують оцінку надійності середніх квадратичних похибок m та М (§ 1, розд.7, пп. 7, 8)

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки одиниці ваги

. (7.32)

Надійність визначення середньої квадратичної похибки одиниці ваги визначають нерівністю . Параметр tb визначається за таблицею розподілу Стьюдента (дод.3) за заданою ймовірністю bі числом ступенів вільності k = п – 1.



9. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки загального середнього арифметичного

. (7.33)

Надійність визначення СКП загального середнього арифметичного М контролюють нерівністю

,

де tb – параметр, що визначається так само як і в попередньому випадку.

10. Довірчі інтервали для

а) істинного значення виміряної величини

, (7.34)

де t – параметр вибирається з таблиць розподілу Стьюдента (дод. 3) за ймовірністю bі кількістю ступенів вільності k = п – 1.

б)стандарта загального середнього арифметичного

, (7.35)

в) стандарта одиниці ваги

. (7.36)

Коефіцієнти g1 і g2 обчислюються за формулами (7.18) – (7.20) так само як і при рівноточних вимірах.

При необхідності обчислюють:

а) середні квадратичні похибки окремих нерівноточних вимірів

, (7.37)

б) інтервальні оцінки для окремих результатів ряду нерівноточних вимірів

. (7.38)

Приклад. При створенні висотної основи на будівельному майданчику отримано мережу з п’яти ходів із однією вузловою точкою (рис.7.1). Визначити відмітку вузлової точки і виконати оцінку точності вимірів.

Рис.7.1

Розв’язання. Оскільки перевищення визначені по ходах різної довжини, то виміри будуть нерівноточними. Зведемо їх до таблиці 7.2.

Спочатку обчислюємо висоту вузлової точки по кожному із ходів за формулою .

Таблиця 7.2

№ хо- ду Висоти вихід- них реперів, (м) Пере- вищен ня, h (мм) Дов жи на L (км) (м) e (мм) рe рe2 V (мм) pV pV2 mi
110.131 -10810 9.2 99.321 1.08 22.68 476.3 +7.2 +7.78 55.98 9.8
100.000 -0.675 12.4 99.325 0.81 20.25 506.2 +11.2 +9.07 101.61 11.3
103.056 -3740 6.5 99.316 1.54 24.64 394.2 +2.2 +3.39 7.45 8.2
99.782 -0.482 7.6 99.300 1.32 -13.8 -18.22 251.38 8.9
99.782 -0.470 8.9 99.312 1.12 13.44 161.3 -1.8 -2.02 3.63 9.6
Н 99.3138 S Но 99.300 5.87 81.01 420.06

Результати обчислень приведені в графі 4 табл. 7.2.

За формулами (7.22) – (7.38) обчислюємо:

1. Ваги вимірів. За постійний коефіцієнт вигідно прийняти величину С = 10. В графі (5) табл. 7.2 за формулою рі = визначені ваги виміряних перевищень.

2. Загальне середнє арифметичне. Виберемо значення

= Hmin= 99,300 мта в графі 6 обчислимо відхилення eі = Н0.

Тоді

м;

3. Ймовірні похибки Vi обчислені в графі (9), а в графах (10), (11) обчислені [pV] та [pV2].

Контроль: [pV] = - b [p] або 0 » - 0,001 × 5,87 = 0,006 мм » 0.

4. Контроль обчислення [pV2] за формулою

; .

Виконані контролі гарантують правильність виконаних обчислень.

5. Середню квадратичну похибку одиниці ваги

мм.

Це є середньою квадратичною похибкою на одиницю ваги, що дорівнює довжині ходу L = 10 км.

6. Середню квадратичну похибку вимірювання перевищення на 1 км ходу

мм.

7. Середню квадратичну похибку загального середнього арифметичного

мм.

Виконують контроль надійності обчислення критеріїв точності m та М.

8. Середня квадратична похибка середньої квадратичної похибки одиниці ваги буде

мм.

Критерій точності похибки m буде

, або 10,2 ³ 2,78 × 3,6(10,2 > 10,0).

9. Середня квадратична похибка середньої квадратичної похибки загального середнього арифметичного буде

мм

Критерій точності похибки М буде

, або 4,2 ³ 2,78 × 1,4(4,2 > 3,9).

Параметр при b = 0,95 q = 0,05і за таблицями розподілу Стьюдента (дод. 3) визначаємо при k = п – 1 = 5 – 1 = 4 = 2,78.

10. Довірчий інтервал:

а) для істинного значення відмітки вузлової точки визначиться інтервалом:

.

99,3138 – 2,78 × 4,2 £ Н1 £ 99,3138 + 2,78 × 4,2,

або 99,3021 £ Н1 £ 99,3255.

б) для стандарта загального середнього арифметичного:

При ймовірності b = 0,95 за формулою (7.20) , р1 = 1 – р2 = 0,97 і k = п – 1 = 4 з таблиць розподілу Пірсона (дод. 4)

= 11,7 та = 0,6.

Відповідно ;

, або .

в) для стандарту одиниці ваги:

,

г) для стандарту визначення перевищення на 1 км ходу

, .

11. При необхідності середні квадратичні похибки визначення перевищень по окремих ходах обчислюють за формулою (7.37) в графі 12 табл. 7.2.

12. Доцільно визначити інтервал для відмітки вузлової точки при мінімальному значенні середньої квадратичної похибки по ходу 3 від RpCm3 = 8,2 мм.

Тоді

або

(99,2927 £ Н3 £ 99,3349).

Оскільки відмітки вузлової точки по інших ходах входять до заданого інтервалу, то всі виміри перевищень по ходах 1-5 слід вважати доброякісними.

§ 3. Математична обробка подвійних вимірів

Необхідну точність шуканих величин забезпечують підвищенням точності вимірів, а надійність отримання критеріїв точності підвищують шляхом збільшення повторних вимірів. Однак така організація робіт не завжди економічно вигідна. Разом з тим достатньо точно можна отримати шукані величини і при двох повторних вимірюваннях – як мінімальній кількості вимірів. Якщо одночасно за двома повторними вимірами визначались розміри багатьох фізично однорідних величин з достатньою точністю, то виникає задача розробки методів оцінки точності подвійних вимірів. Наприклад: вимірювання ліній теодолітного ходу; вимірювання перевищень в нівелюванні ІІІ класу і т.д.

Припустимо, що однорідні величини х1, х2, ..., хп вимірювались два рази і отримано статистичні ряди

. (7.39)

Результати вимірів обтяжені істинними похибками

, (7.40)

де ; .

Складемо різниці

, . (7.41)

Формула (7.41) показує, що різниці по кожній із виміряних величин будуть складати різниці подвійних вимірів,

тобто

, , (7.42)

або , . (7.43)

Зведемо подвійні різниці (7.43) до квадрата, складемо і поділимо на п, отримаємо

. (7.44)

За четвертою властивістю випадкових похибок маємо

.

При цьому ; .

Тоді формула (7.44) зводиться до виду

, (7.45)

де – середні квадратичні похибки окремих подвійних вимірів.

Залежно від зміни “комплексу умов” виміри можуть бути рівноточними або нерівноточними.

1. Обробка рівноточних подвійних вимірів

Приклад наявності рівноточних подвійних вимірів напрочуд рідкісний, але має місце в геодезичній практиці. Так при визначенні довжини високоточного польового компаратора використовують два інварні дроти, а вимірювання виконують п-циклами. При цьому можна прийняти, що ряди вимірів (7.39) будуть рівноточними, тобто

, (7.46)

при цьому .

Тоді в формулі (7.45) .

Ймовірні значення виміряних величин визначаться як середні арифметичні відповідно

. (7.47)

Середня квадратична похибка окремих рівноточних вимірів буде

. (7.48)

За різницею подвійних вимірів можна визначити величину систематичної похибки lза формулою

. (7.49)

Якщо задовольняється нерівність

| [d] | £ 0,25 [ |d| ],(7.50)

то гіпотеза про відсутність систематичних похибок в подвійних різницях di приймається. В противному разі обчислюють різниці

, . (7.51)

Середня квадратична похибка окремих вимірів (формула (7.48)) зводиться до вигляду

. (7.52)

Середня квадратична похибка арифметичного середнього обчислюється за формулою

. (7.53)

Оскільки кожна величина Хі вимірювалась тільки два рази, то виконувати інтервальну оцінку недоцільно.

Разом з тим повна рівноточність вимірів передбачає і рівність розмірів фізичних величини Х, то шляхом логічного аналізу приходимо до формул

, (7.54)

. (7.55)

В цьому випадку інтервальну оцінку можна виконати за формулами математичної обробки рівноточних вимірів ( § 1, розд.7).

Приклад. Довжина компаратора виміряна двома дротами одного класу точності в 6-ти циклах. Виконати математичну обробку подвійних вимірів при заданій імовірності р = 0,95. Вихідні дані наведені в табл. 7.3.

Розв’язання. Оскільки вимірювання виконані дротами одного класу точності при незмінному комплексі умов, то виміри вважаються рівноточними, тобто ; і .

Таблиця 7.3

№ пор. Результати вимірювань d (мм)
1-й дріт (м) 2-й дріт (м)
120,010 120,005 +5 +8,67 75,2 120,0075
120,002 120,008 -6 -2,33 5,4 120,0050
120,015 120,020 -5 -1,33 1,8 120,0175
120,005 120,016 -13 -9,33 87,0 120,0105
120,008 120,007 +1 +4,67 21,8 120,0075
120,012 120,016 -4 -0,33 0,1 120,0140
S S|d| -22 +0,02 191,3 120,0103

Обчислення виконуємо за формулами (7.47) – (7.55).

Критерій наявності систематичних похибок

мм; контроль за формулою (7.50) 22 £ 0,25× 34 або (22 > 8,5). Це підтверджує значимість систематичної похибки. Тоді в графі 4 табл. 7.3 обчислюємо різниці .

Середні арифметичні по циклах обчислені за формулою (7.47) в графі 6.

Середня квадратична похибка окремого виміру

= 4,37мм.

Середня квадратична похибка середніх арифметичних по циклах вимірів

мм.

Довжина компаратора

.

Середня квадратична похибка довжини компаратора

= 1,26 мм.

Інтервальною оцінкою довжини компаратора буде інтервал

.

За таблицями дод. 3 при b = 0,95і k = 2п – 1 tb = 2,3.

120,0103 – 2,3 × 1,26 £ Xk £ 120,0103 + 2,3 × 1,26,

або 120,0074 £Xk£120,0132.

Відносна гранична похибка визачення довжини компаратора складе

.

2. Обробка нерівноточних подвійних вимірів

В практиці виконання геодезичних подвійних вимірювань це найбільш поширений випадок. Однак серед нерівноточних подвійних вимірів може бути два випадки:

А. В статистичних рядах вимірів (7.39) може бути, коли

. (7.56)

Це характерно для вимірювання ліній в теодолітних ходах в прямому та зворотному напрямках. При цьому повністю зберігається «комплекс умов» і тоді , але лінії будуть різної довжини, а тому і , що відповідає умові (7.56).

Формулу (7.45) перепишемо у вигляді

. (7.57)

Згідно з формулою (6.46) отримаємо формулу

. (7.58)

За умовою (7.56) , тоді вага подвійної різниці визначиться за формулою

або . (7.59)

Ваги окремих вимірів обчислюють за формулами (6.46), (6.48) – (6.50).

Оскільки ваги прямого та зворотного вимірів однакові, то ймовірними значеннями кожної виміряної величини будуть середні арифметичні

. (7.60)

Систематична похибка визначиться за формулою

, (7.61)

де Рd – вага подвійної різниці di.

Якщо не виконується нерівність

[ |Pd d| ] £ 0,25 [ |Pd d| ],(7.62)

то необхідно враховувати дію систематичних похибок і обчислити різниці

. (7.63)

Середня квадратична похибка одиниці ваги визначається за формулою:

а) при відсутності систематичних похибок

, (7.64)

б) при наявності систематичних похибок

. (7.65)

Середня квадратична похибка середніх арифметичних визначиться за формулою

.(7.66)

Середні квадратичні похибки окремих вимірів визначаються за формулою

.(7.67)

За вимогами інтервал для істинного значення кожного із вимірів може бути визначений за формулою (7.38). При необхідності визначають інтервал для дисперсії або стандарту середнього арифметичного та окремих вимірів за формулами (7.15) – (7.20). Обчислюють відносні похибки.

Приклад. Лінії теодолітного ходу виміряні рулеткою в прямому і зворотному напрямках. Виконати обробку вимірів. З оцінкою точності при надійній імовірності р=0,95.

Розв’язання. Оскільки вимірювання ліній виконано в прямому та зворотному напрямках однією рулеткою при практично однакових умовах, то дотримується рівність дисперсій . Разом з тим довжини ліній різні, тому та , а виміри вважаються подвійними нерівноточними.

Обчислення зведемо до табл. 7.4.

Ваги подвійних різниць попарно рівноточні та виміри нерівноточні . Формула (7.58) зведеться до вигляду , або .

Ваги окремих вимірів зручно обчислити за формулою . Обчислення ваг Рі та виконано в графах 4 і 5 табл. 7.4.

Таблиця 7.4

№ пор Довжина L, (м) di (см) pdd pdd2 (см)
Прямо Зворот- но Li
191.30 191.21 191.255 0.52 0.26 +9 +2.34 21.06 2.33
65.84 65.82 65.83 1.52 0.76 +2 +1.52 3.04 1.37
118.34 118.28 118.31 0.85 0.42 +6 +2.52 15.12 1.82
171.47 171.54 171.505 0.58 0.29 -7 -2.03 14.21 2.21
92.12 92.16 92.14 1.09 0.54 -4 -2.16 8.64 1.62
131.55 131.50 131.525 0.76 0.38 +5 +1.90 9.50 1.93
79.91 79.88 79.895 1.25 0.62 +3 +1.86 5.58 1.51
155.03 155.10 155.065 0.64 0.32 -7 -2.24 15.68 2.10
84.88 84.92 84.90 1.18 0.59 -4 -2.36 9.44 1.55
S 4.18 +3 +1.35 102.27
[|d|]=

Систематична похибка складе

= + 0,32

Визначимо контроль відсутності систематичних похибок

|[pd d]| £ 0,25 [|d|] 1,35 £ 0,25 × 47 (1,35 < 11,75),

тому критерій виконується.

Середні арифметичні із результатів вимірів ліній обчислені в графі 3, табл.7.4.

Середня квадратична похибка одиниці ваги буде

см.

Середні квадратичні похибки вимірювання окремих вимірів будуть

.

Середні квадратичні похибки середніх арифметичних

.

Результати обчислень приведені в графі 9. При р = 0,95 і k = п – 1=8 за таблицями розподілу Стьюдента (дод. 3) параметр tb = 2,5. Тоді граничні похибки для мінімальної та максимальної довжини лінії будуть

для L2 Dгр = ± tb М = ± 2,5 × 1,37 = ± 3,42 см,

для L1 Dгр = ± 2,5 × 2,33 = ± 5,82 см.

Відносні похибки складуть

;

.

Як показують розрахунки, короткі за розміром лінії виміряні з точністю нижче від вимог інструкції.

Б. В практиці геодезичних вимірювань може бути випадок, коли всі результати між собою нерівноточні, тобто , та .

В формулі (7.58) , тоді

.

Вага подвійних різниць обчислюється за формулою

. (7.68)

Середні арифметичні обчислюють за формулою

. (7.69)

Далі розрахунки точності виконують за формулами (7.61) – (7.65).

Середні квадратичні похибки арифметичних середніх обчислюють за формулою

. (7.70)

Необхідно вказати, що такі випадки в практиці геодезичних вимірювань зустрічаються дуже рідко.

§ 4. Оцінка точності функцій виміряних величин

В практичній діяльності для вимірювання шуканих величин часто застосовують посередні методи. При цьому шукана величина Y визначається шляхом обчислень по виміряних величинах Х1, Х2, ..., Хп. Шукану величину Y називають функцією, а виміряні величини Хі – аргументами, тоді

Y = f (X1, X2, …, Xn), (7.71)

де Y, Х1, Х2, ..., Хп – істинні значення функції та її аргументів.

Зрозуміло, що виміри виконуються з похибками, тому і функція буде обтяжена похибкою. В результаті повторних вимірювань аргументів Хі можна визначити їх точність, або їх точність визначається методикою вимірювань на основі інструкцій і т.і.

Похибка функції буде залежати від похибок її аргументів. Якщо виміряно аргументи х1, х2, ..., хп , то шляхом обчислень можна визначити функцію

у = f ( х1, х2, …, хn ), (7.72)

де х1, х2, …, хn – виміряні величини з середніми квадратичними похибками . Припустимо, що нам відомі істинні похибки вимірів D1, D2, ..., Dп. Очевидно і функція отримає істинний приріст Dу. Функція (7.72) зведеться до вигляду

у + Dу = f (х1 + D1, х2 + D2, …, хn +Dп), (7.73)

Функція (7.71) може мати нелінійний характер, а тому приведемо її до лінійного виду.

Розкладемо функцію (7.71) в ряд Тейлора і отримаємо

Y = у + Dу = f ( х1, х2,…, хn )+

+ ,

(7.74)

де – часткові похідні від функції по перемінних наближених значеннях аргументів;

хі –Хі = Dі – істинні похибки аргументів функції;

R – величини другого та вищих порядків малості і в подальших розрахунках може бути прийнятою за нуль, тобто R » 0.

Визначимо приріст функції Dу, для чого від рівняння (7.72) віднімемо рівняння (7.74) і отримаємо

y – Y = – Dу = f ( х1, х2,…, хn ) – f ( х1, х2,…, хn ) – D1–

– D2–...– Dп,

або Dу= D1+ D2+ ... + Dп. (7.75)

Для оцінки точності функцій застосуємо метод повторних вимірювань аргументів. Тобто припустимо, що аргументи функції виміряні п-разів і при відомих істинних похибках аргументів обчислено таку ж кількість похибок функції, тобто

Dуі = + ... + , . (7.76)

Зведемо їх до квадрата, складемо і поділимо на п. Отримаємо

+ + ... + +

+ . (7.77)

Згідно з формулою (6.24) маємо

; . (7.78)

Із кореляційного аналізу за формулою (4.48) можна визначити коефіцієнт кореляції за формулою

. (7.79)

Тоді дисперсія функції за формулою (7.77) зведеться до вигляду

+ + ... + +

+ , (7.80)

або + . (7.81)

де rij – коефіцієнт кореляції, який виражає залежність між аргументами хі та хj.

Формули (7.80) та (7.81) виражають дисперсію функції, тобто її точність залежно від виду функції і точності залежних між собою аргументів.

Практично досить важко і економічно невигідно визначати коефіцієнти кореляції. Тоді умовно приймають їх незалежними, а коефіцієнт кореляції rij » 0.


7621112362707517.html
7621195181567376.html

7621112362707517.html
7621195181567376.html
    PR.RU™